Si queremos resolver un sistema con n ecuaciones y n incógnitas puede existir la posibilidad de hacerlo utilizando su expresión matricial. Veamos como:
1. Expresamos matricialmente el sistema de ecuaciones, de la forma
A·X = B
2. Si |A| ≠ 0 entonces A es inversible. Si multiplicamos por A-1 en la identidad anterior por la izquierda, obtenemos que
A-1 ( A · X ) = A-1 · B
Empleando la propiedad asociativa del producto matricial, obtenemos que
(A-1 · A ) X = A-1 · B
Teniendo en cuenta que A-1 · A = I, acabamos de obtener que:
X = A-1 · B
Es decir, acabamos de calcular el valor de la matriz de incógnitas X, de manera que hemos resuelto el sistema de ecuaciones.
Supongamos que el sistema es cuadrado, esto es, m = n.
El método consiste en que si A es regular (por tanto, el sistema es compatible determinado) podemos multiplicar el sistema por la inversa de A, A-1:
Ejemplo:
Las matrices asociadas al sistema son
Con lo que la solución del sistema es
MATRICES Y DETERMINANTES:
Una matriz orden (m ´ n) es un conjunto de m ´ n números ordenados en una tabla:
en donde podemos apreciar horizontalmente las filas, fila 1: (), fila 2: ( ), etc. Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, etc.
Por tanto, una matriz de orden (m ´ n) tiene m filas y n columnas. En caso de que el número de filas y el de columnas sea el mismo se habla de matriz cuadrada.
Las matrices cuadrada tienen dos diagonales, de las cuales sobre un ejemplo vemos la que se llama "diagonal principal" de la matriz:
Para tratarlas teóricamente las matrices se suelen expresar en forma abreviada así:
es decir, con un nombre propio y dos subíndices, aij, siendo el primer subíndice -en nuestro caso el i- el correspondiente a la fila i-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta m; y el segundo subíndice -en nuestro caso la j- es el correspondiente a la columna j-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta n. El alumno debe ser muy consciente de este significado de los índices.
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